财讯：傅里叶变换绘制二维图形｜小记

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原件:郑越升坏打印机

通常傅立叶变换的例子图叠加在有无数枯燥三角函数的不规则函数上，最近阅读了关于傅立叶变换的副本。 里面有下图，很有趣。 通过很多相互重叠的圆运动，可以描绘矢量的二维轨迹。

from jez swanson

这个动画击中了我的有趣之处，所以恶补了傅立叶变换相关的知识，终于在processing中实现了这个动画。

在prcocessing中实现这个动画

上面视频的代码开源位于openprocessing

>； >； 详情请印章openprocessing/sketch/758144

这里简单说明傅立叶变换的知识和代码原理，如果有有趣的研究的话可以阅读后述的我认为有用的复印件。

基本定义:对于任何非周期连续函数，可以用正弦或余弦乘以权重函数的积分表示。 这个积分方程称为傅里叶变换( fourier transform )。

这个基本定义看起来很无聊。 如果想形象地知道傅立叶变换是用来干什么的，下面文末的“傅立叶变换交互入门”和“阿里巴巴企业根据截图泄露新闻的具体员工的技术是什么？ -富强刘的回答"

以下动画是一个很好的例子，红色函数是其不规则的形态，但通过重叠n个不同的频率、振幅、相位的三角函数可以继续接近。

from维基百科

实际上，傅立叶变换如上图所示，有用不同频率的三角函数记述一个原函数，将其从时域转移到频域的立场称为一个函数表现的习性。 如果以t为连续变量的连续非周期函数f的傅立叶变换用f表示，则对应的傅立叶变换公式如下。

其中，j是多个，即-1的平方根。 理解上面的傅立叶变换式是3b1b的《形象比喻:傅立叶变换是什么？ 》的视频中，参考文案清单上记载了youtube的地址，b站应该也有搬运和中文案窗帘。

类似地，存在从时域到频域的公式，也存在从对应的频域到时域的公式。 这个公式比上述更容易理解。 物理意义直观，目前是对所有频率的三角函数进行积分计算。 这就是傅立叶逆变换公式

如果有这两个公式，我们能开始写代码吗？ 你在时域和频域之间自由往来了吗？ 不，处理或p5，自然数e的指数计算很麻烦。 可以使用优雅而有点不可思议的欧拉公式，将指数部分转换为三角函数计算。 欧拉的公式如下。

用欧拉公式替换指数部分，得到以下傅立叶变换的公式。

在敲代码之前，让我们回顾一下那个图章上有趣的点的动画。 与上述示例不同，随着时间变化的轨迹位于二维平面上，因此与该原函数f(t )对应的值应该是一对pair (x，y )。 你怎么解决这两个值？

幸好我们傅立叶变换式解决的信号本身是复数，在下图的时间轴、实轴、虚轴组成的三维空之间，我们采用的用于叠加的三角函数可以看作是该空之间的螺旋波，cos和sin分别是 因此，可以自然地以( x + jy )的形式表现离散的信号值。

from richard lyons

完美的代码开源如下。

openprocessing/sketch/758144

参考文案(个人推荐阅读顺序):

1 .“傅立叶变换交互入门”:

jezzamon/fourier/zh-cn

2 .“阿里巴巴企业根据截图泄露消息的具体员工技术是什么？ -富强刘的回答”:

zhi Hu/question/50735753/answer/122593277

3. 《3blue1brown :什么是傅立叶变换？ ”:

youtube/watch？ v=spunpyf58by

4 .“aninteractiveguidetothefouriertransform”:

better explained/articles/an-interactive-guide-to-the-Fourier-transform /

5 .“understandingthefftalgorithm”:

Jake vdp.github.io/blog// 08/28/understanding-the-FFT /

6 .“thedftmagnitudeofareal-valuedcosinesequence”:

dsprelated/showarticle/607.php

7 .“傅立叶变化系列的公式推导及其编程应用|三篇”:

zhuanlan.zhihu/p/41455378

阅读原文。