财讯：黑体辐射、对应原理与零点能——普朗克老师的一箭三雕 ｜贤说八道

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原创曹则贤归朴

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普朗克是20世纪最伟大的物理学家，爱因斯坦也很尊敬他。 普朗克对热力学、相对论、量子力学和统计物理作出了全面的贡献，他最初写了相对论的象征方程e=mc2和统计物理的象征方程s=k。

w。 把热力学方程du=tds-pdv

的形式，将熵s置于主角地位，是普朗克得到正确的黑体辐射光谱分布式，引入辐射能量量化hν的关键，也是热力学转移到统计物理的关键。 在1900年以后的10多年里，普朗克除了担心相对论动力学外，思维熵、黑体辐射和能量量化之间的内在不协调构成了他的“绝望行动”。 1912年，普朗克再次发表了关于黑体辐射的论文(全文翻译发表在《物理》杂志上)。 基于新的振子辐射机制假设，不仅得到了黑体辐射光谱分布式的导出方法，而且首次引入了相应原理和零点能量的概念。 黑体辐射，对应原理和零点能量，普朗克老师在这个水平上的一箭三雕，真正解释了“前无古人，后无来者”。

作者|曹则贤(中国科学院物理研究所研究员)

每个学物理的人都可以说认识柏林大学教热力学的普朗克老师( max planck，1858-1947 )。 普朗克老师大学毕业时学物理不是为了将来的成果，他说他想学物理。 结果他真的做到了——古典力学、电气力学、热力学、普朗克老师把它的精髓都吃了。 普朗克老师学物理一定很辛苦。 学物理的头发掉了可能是他的老人(图1 )。 普朗克先生是相对论的创始人，热力学的发展商，统计力学的反对者和支持者。

普朗克老师是相对论的创始人，他在1906年赶上了相对论研究，第一个写了质量能量方程e=mc2，培养了第一个相对论专业的博士。 另外，为了拜访贫困的年轻人爱因斯坦，他派遣了第一个助手拉威( 1879-1960 .拉威也是相对论的创始人之一)。 普朗克有爱因斯坦学术监护人的说法，因此他于1929年与爱因斯坦共同获得了第一届普朗克奖(以自己的名字命名的大奖)。 (图2 )。

普朗克是热力学的发展者，他是克劳的学生，对熵有比别人更深的理解。 du=tds-pdv

的形式，这样做的重要意义是愚蠢地认为熵位于主角的位置，因此这个方程称为普朗克方程。 由这个方程式得到的关系式

是导出黑体辐射公式的重要一步。

普朗克是统计力学的反对者和支持者，很难把严密的代数热力学转变成由可能性支配的统计学。 在反对玻尔兹曼统计理论的人中，跳得最高的是普朗克的助手策尔梅罗( ernst zermelo，1871-1953 )。 但是，普朗克偏偏最精通统计物理，熵公式s=k。

w也是他写的，在引导黑体辐射的过程中他熟练地采用了气体运动论和统计物理知识。 其玻尔兹曼常数k是普朗克1901年的副本[m. planck，berdasgesetzderenergieverteilungimnormalspektrum ] ( )。

图1 .青年普朗克和普朗克老师

图2 .普朗克老师和爱因斯坦一起获得了第一届普朗克奖( 1929 )。

普朗克是量子论的先驱，但似乎不能说是量子力学的创始人。 1900年的文案[m. planck，zurtheoriedesgesetzesderenergieverteilungimnormalspectrum (标准光谱能量分布律理论)， 在verhandlungenderdeutschenphysikalischengesellschaft 2，237-245 ( 1900 ) ]中，普朗克使用能量量子假设ε=hν，他再次出现在此前的副本[m.ppm] bereineverbesserungderwien ' schenspectralgleichung (维恩光谱方程的改进)，verhandlungenderdeutschenphysikalischengesellschaft 2。

我是。

普朗克的这个副本被认为是量子论的开始。 我愚蠢地认为与科学史的事实不一致。 玻尔兹曼是1877年引进动能量化得到气体的麦克斯韦分布式，但量化最终回到了1854年雷曼引进quanta一词时的本义，几何量化。 后来，普朗克在1913年热力学教程的第二版中阐述了这些，被印度青年博斯阅读。 在随后的10余年里，普朗克对能量量子的态度与爱因斯坦等人的态度正好相反，他不期待所谓的量子理论，只是在新的物理理论中，作用了量子h、普朗克口的wirkungsquantum，说危害很少 当然，普朗克本人一直在考虑量子和黑体辐射的问题。 他说自己几年的所作所为是绝望行动( akt der verzweiflung )。

但是，1911年底，普朗克提交了现在的论文[max planck，Berdiebegründungdesgesetzesderschwarzenstrahlumg，annalen der physik 37。 642-656(1912 ) .译文全文《黑体辐射法则的依据》将于《物理》杂志年第六期发表》，基于新的振子辐射机制，普朗克再次得到了黑体辐射式。 这是普朗克自己的第三种黑体辐射式的导出方法，继爱因斯坦之后，于1992年。 这个复印件绝对是物理学史上的里程碑式的存在。 在这个拷贝中，普朗克不仅再次有意得到黑体辐射式，而且重要的是他第一次采用了对应原理(这是后来构建量子理论时频繁使用的做法，例如狄拉克成功地使用这个原理导出了量化条件。

，振子的零点能量，hν也是首次导出。 也就是说，普朗克老师用这个复印件完成了物理学概念层面上的一箭三雕。 据笔者所知，这个应该绝对没有。 我不知道物理史上有这么高的成果是哪一部单篇。

如果列举近代物理史的前三个重要概念的话，我认为结果是没有结果的，但很多说法是必然的。 但是，如果黑体辐射、对应原理、零点能量是近代物理中的重要基础概念，可能很少有人提出异议。 但是，中文关于黑体辐射的介绍往往是热力学、统计力学、光学或量子力学教科书中的三言两语，这反映了作者的鄙视，丝毫不影响黑体辐射的是近代物理摇篮的地位，其博大不少。 黑体辐射的导出除了上述几个导出外，还有基于爱因斯坦1917年、泡利1923年、玻色1924年及广义相对论的多种导出，导出了诱导辐射、散射理论、量子统计等概念，甚至是崭新的物理行业[曹则贤、黑体辐射公式的多种 现在好好学习普朗克老师的这篇论文，看看他是怎么做一箭三雕的。 普朗克在这个文案里的各种惊喜操作是否合理，有没有精彩之处，各位网友请自己体验一下。

普朗克老师首先指出了普朗克的公式。

在迄今为止的导出中，为了明确放射强度的温度依存关系，振子的能量与在空间自由传递的波动放射强度结合，另一方面，作为计算该振子构成的系统的熵的基础使用，非常敏感 这前者是电力学的，第二方面是统计的，而普朗克现在的目的是找到统一电力学解决方法和统计解决方法的辐射式的导出。 普朗克现在正在考察充满稳定的恒黑体辐射，由静止的反射壁包围的真空腔。 其中，有多个具有特定共同固有振动的直线独立的振子，这些振子吸收能量发射，但只有电磁波发射的形式。 关于振子吸收能量的过程的描述，普朗克使用了简单的强制振动模型。 运动方程是

这里，f是振子的偶极矩，ez是偶极子轴方向的光场的电场强度的分量。 据观察，这个方程不包括衰减项。 这是因为用这样的方程式描绘的振动，振子从静止状态的t=0时刻开始振幅，其能量随着时间逐渐增加。 这方面的具体计算不重要，省略。

本论文的惊人之处在于，具有一定能量的振子是如何放射电磁辐射的假设。 普朗克假设振子仅在其能量达到能量单元ε=hν的整数倍nhν时发射辐射，虽然不知道具体的因果性辐射机理，但辐射的辐射概率η，不辐射而继续吸收能量的概率为1η 也就是说，每当振子的能量u为u=nhν时，就有可能释放所有的能量u。 概率是η，释放后振子返回静止状态，开始下一轮的能量积累。 普朗克还发现，非辐射概率与辐射概率之比是激发振子的外部振动的强度，j，即

(1)

那么，等式(1)中的比例因子p如何变得明确？ 普朗克认为，相对于较大的激励振动强度j的值，振子的平均能量

必须转移到经典电动力学所要求的值。 看，在这样的不情愿之间，对应原理出现了。

稳态辐射场中振子的平均能量如下所示

我是。 在完全释放该能量的n个振子中，nη在达到第一个能量量子时发射，n(1-η)η在达到第二个能量量子时发射，同样，n(1-η)n-1η在达到第n个能量量子时发射 由此可知，在稳态辐射场随机选择的n个振子中，nη=np0个能量在0到ε之间。 n(1-η)η=np1个能量在ε到2ε之间。 这样类推，n(1-η)n-1η=npn-1个能量在( n-1)ε到nε之间。 在这里。

pn=(1-η)nη (2)

振子的能量在nε和( n+1)ε之间的概率。 这样，振子平均能量

由下式给出

(3)

这里ε是有第一次发射机会之前振子的平均能量，( n+½)ε是经历了n次发射机会但未发射振子的平均能量。 观察到这是作为从0到1的均匀分布(等测度)的平均值的脸出现的。 这与后来人们任意发挥的奇怪力乱神式的零点能概念相比，非常容易理解和接受。

如上所述，规定强度的稳态辐射场中的由n个相同振子组成的系统的能量分布是这样唯一确定的。 其次，可以用众所周知的方法计算系统的熵和温度。 首先，系统的熵

、(4)

观察这里，普朗克采用了新的熵公式

p是概率，通常教科书称为gibbs熵。 根据(2)式得到

. (5)

或者考虑(3)式，(5)式可以改写如下

(6)

好吧，这样可以得到温度(观察，这里是熵平均能量的微分。 这个时期的文献中也有熵微分能量的记载。 其总体思想是收集热力学中的内能熵温度三者之间的关系。

)中被调用，将出现故障

(7)

把ε=hν带来

. (8)

于是，在t=0情况下，

我是。 绝对温度接近0 k时，振子的平均能量不是0。 为什么振子没有冻结？ 你不惊讶吗？

这个hν怎么解释？ 普朗克老师说，与这个温度无关的能量是“潜能”，对热容量没有贡献但对惯性(以及有重量的)质量有贡献，是放射性作用的源泉。 嗯，归属于“潜能”的这种胡说八道，是老把戏。 1903年de pretto可能暴露了以太网动能MC2作为原子放射性。

根据普朗克老师对h的态度，我想他接下来会怎么想“撕”这个莫名其妙的hν呢？ 但是，等不及他摆脱，或者至少就此，爱因斯坦和otto stern (stern-gerlach实验之一)在1913年用这个零点能量的概念进行了氢低温比热的实验结果[ A.Einstein An einigeargumentefürdieannahmeeinermolecularagitationbeimabsolutennullpunkt (关于绝对零点处的分子激发假设的讨论)，ann.phys.(4)40，经观察，爱因斯坦 奇怪的是，爱因斯坦的原文不仅包含振子的能量

，回头见

(图3 )，肿还是肥子事？ 空如果有，我就考学校。

图3 .爱因斯坦1913年副本中两处振子的平均能量公式。

零点能后的命运远远超过了真正的物理学家普朗克的想象，远远超过了真正的物理学家爱因斯坦的想象。 零点能以后变为真空能。 那个普朗克讨论所需的虚振子，那个爱因斯坦讨论所需的实际氢分子都消失了。 据说真空有这样的零点能量，但是因为没有实体，所以据说那个hν(知道这个ν是怎么清楚的)有无限多的零点能量。 真空有无限多的零点能量。 零点能量也变成了真空能量基态能量，nullpunkt忘记了指定绝对温度。 再有，从真空还可以导出平行板间的量子吸引力，即所谓的casimir力。

导出过程中使用平面波及其边界条件的量化可以说是使hν有安魂处。 之后，恭喜你通过afm针尖的振动测量(计算)了casimir力，但笔者真的什么也说不出来。

我唠唠叨叨地说关于物理的有点深的拷贝。 考察量子力学版谐振器的零点能量问题，表示谐振器的汉密尔顿量时

并引入转换。

，

是量化条件

是的，可以得到

我是。 这里的零点能量来自量化的ω，好的物理是这个h (ћ=h/2π)和ω安魂。 但是，如果把汉密尔顿量设为无量纲化，以及=1，就可以简单地用二次型的形式表示。

并引入转换。

和

加上量化条件

，就是这样得到的。

，零分可以。 这个导出过程抛弃了h和ω。 物理全部丢了就可以写狂想曲。 其实，把这个x和p转换成运算符对a+和a并不那么简单。 用公式

中，p和q都是实数，但进行转换时

有时，物理上q-p是相连的。 数学上从实数域扩展到多个域-意味着数域的扩展。 认真对待代数，它会带来很多东西。 在物理上，无论真伪，都有潜入被称为看不见的数学的地方的东西。 拉，不要。

像普朗克老师那样的箭三雕的导出已经不会再有了吧。

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